[금융] 간단 트럼프 VS 바이든 콜옵션 프리미엄 계산

 

 

금융공학이라는 것을 처음 배울때

옵션을 가치평가하는 모델 중 이항모형이라는 것을 먼저 배웁니다.

그것을 Binomial Model이라고 하고, 가지가 하나 쳐진 1Step부터 시작하지요.

아주 간단하고 적용하기엔 비현실적입니다만...

 

어쨋든

이번 미국 대선을 보면서 도박사들이 어떻게 베팅을 하는지 갑자기 궁금해지더군요.

그러면서 과연 배당률이 어떻게 형성되어있나 등등이 궁금해져서 좀 찾아봤습니다.

RealClearPolitics - Betting Odds - 2020 U.S. President

과연 바이든 대 트럼프는 63.8 : 35.4 정도로 형성되어있습니다.

근데 둘이 합쳐도 63.8 + 35.4 = 99.2로 100이 되지 않습니다.

남은 0.8은 다시  63.8 : 35.4, 대략 5:3 비율로 배분하면

바이든 대 트럼프는 64.3 : 35.7 정도 되겠군요.

 

이정도 하고 보니, 또 다른게 궁금해지더군요.

이런 베팅으로도 차익거래기회를 만들수가 있을까요?

그래서 교내 학회에서 공부할 때의 기억을 슬금슬금 끄집어내서 한번 계산해보았습니다.

 

트럼프와 바이든에 똑같이 $50, 총 $100를 투자하는 ETF가 있다면,

대선 전날 이 ETF의 행사가격 $100짜리 콜옵션은 얼마일까?? 

 

굳이 초기 투자금액을 설정하는 이유는

이항모형의 한계 때문입니다.

처음에 할 것은 각 대통령이 당선되었을 때 플레이가 받을 payoff를 설정하는 것인데,

이때 초기 투자금액이 있어야 payoff를 결정할 수 있거든요.

 

Step1. 무위험이자율

 

이항모형엔 또 "무위험이자율"을 알아야 합니다.

무위험이자율은 1번, 미국대선이라는 점. 2번, 대선 직전에 예측한다는 점에서 

하루짜리인 미국 오버나이트 스왑 금리를 사용할 것입니다.

대강 보니 0.11%이군요.

연율화되어있을테니, 하루엔 실질적으로 (1+0.0011)^(1/365) - 1 = 0.00000301이군요. 아주아주 작은 숫자입니다.. 0으로 봐도 문제 없을 것 같군요.

 

Step2. 위험중립확률

 

그렇담 트럼프, 바이던 당선의 위험중립확률은 어떻게 될까요?

공식이 있답니다. 그러나 그걸 적용시키기 전에 확인할게 있어요.

트럼프가 당선해야 내가 돈을 벌지, 바이든이 당선해야 돈을 벌지 알아야합니다.

위에서 본 바에 따르면 바이든 : 트럼프의 승률은 64.3% : 35.7% 입니다.

그말은 즉슨, 배당률은 각 승률의 역수인, 1/0.643 : 1/0.357 = 1.56 : 2.80입니다.

우리는 각 대통령에 동등한 금액을 베팅할 것이기 때문에, 총 2를 투자하면

바이든이 이겼을 때 0.8을 이득보고, 트럼프가 이겼을 때 0.44를 손해보겠죠.

이제야 게임이 대충 머리속에 그려집니다.

 

그럼, 바이든은 2를 투자해서 0.8을 얻으니 원금의 1.4배를,

트럼프는 2를 투자해서 0.44를 손해보니 원금의 0.78배를 이득봅니다.

(소숫점이 원래 길어지지만, 가독성을 고려해서 생략했습니다. 값을 구할땐 엑셀로 하니 문제는 없겠지요)

 

그럼 준비물은 갖춰졌습니다.

위험중립확률은 이렇게 구합니다.

 

확률 = {(1+무위험수익률) - 질때 원금비율} / (이길때 원금비율 - 질때 원금비율)

즉, 숫자를 대입해보면 {(1+0) - 0.78} / (1.4 - 0.78) 정도가 되겠네요.

바로 계산해보면  35.7%입니다.

즉, 위험중립을 가정한다면 트럼프는 35.7%의 확률로 당선되겠군요.

어라, 그럼 처음 우리가 구한 자료의 승률과 같잖아요?

이건 왜냐하면 우리가 무위험수익률을 0으로 설정했기 때문입니다.

그런데 뭐, 실제로 무위험수익률은 0에 가까우니 어쩔수 없죠.

앞서 구한 무위험수익률인 0.0000301을 넣어도 확률은 0.005% 변합니다. 무시하죠.

 

Step 3. 옵션가격설정.

 

트럼프에 50달러, 바이든에 50달러를 투자하면

트럼프 승리시 (0.643% 확률)

100 * 0.78 = 77.8달러를 받습니다. 그럼 행사가격 100달러짜리 콜옵션의 가격은 0이겠죠.

바이든 승리시 (35.7% 확률)

100 * 1.4 = 140달러를 받습니다. 그럼 행사가격 100달러짜리 콜옵션의 가격은 40달러이겠죠.

 

그럼 콜옵션 가격은 0 * 0.643 + 40 * 0.357 = $25.76가 된답니다.

원래는 각 경우에 무위험이자율로 할인하는 과정이 들어가지만, 이것 역시도 생략했습니다.

 

 

 

이럼 너무 재미 없죠.

 

 

 

차익거래라는게 성립하려면 무조건 무위험수익률이 존재해야합니다.

편의상 하루짜리 무위험수익률이 2%라고 가정해보죠.

그럼 위의 수식을 쭉 따라서, 콜옵션 가격은 24.47이 됩니다.

 

그렇다면, 이런 ETF와 옵션이 시중에서 존재한다고 할때 차익거래 구조를 짜봅시다.

 

 

1) ETF하나 팔고 콜옵션을 산다면?

 

오늘은

ETF를 팔아 100달러를 벌고

콜옵션을 사면서 24.47달러를 내고

남은 돈 75.53달러를 2%로 투자합니다. 

 

1-1)트럼프 당선시

 

내일은

어제 2%로 투자했던 돈을 회수하면 77.04달러가 되고

트럼프가 당선됬으니 배당금 77.76을 지불하면

0.72달러 적자입니다.

이건 안되겠네요.

 

1-2)바이든 당선시

 

내일은

어제 2%로 투자했던 돈을 회수하면 77.04달러가 되고

바이든이 당선됬으니 배당금 140.056을 지불하고

콜옵션을 행사해 $40.056를 회수하니 

33.96달러 적자입니다.

이것도 안되겠네요.

 

2) ETF하나 사고 콜옵션을 판다면?

 

100달러를 주고 ETF를 사고,

콜옵션을 팔아 24.47을 법니다.

그럼 75.53달러 적자인데, 이건 은행에서 무위험으로 빌립니다.

그럼 초기비용은 0이 되죠.

 

2-1)트럼프 당선시

 

ETF에서 배당금 77.76달러를 법니다.

옵션은 무효가 될것이구요,

어제 빌린 돈을 갚으면 77.04달러가 나갑니다.

그럼 0.72달러가 남네요. 차익거래의 승리입니다.

 

 

2-2)바이든 당선시

 

ETF에서 배당금 140.056달러를 법니다.

옵션을 상대방이 행사할테니 40.056달러를 지불해야죠.

어제 빌린 돈을 갚으면 77.04달러가 나갑니다.

그럼 33.96달러가 남네요. 차익거래 만세입니다.

 

계산결과 ETF를 사고 콜옵션을 팔면 무.조.건. 수익이 납니다!

 

막상하고 보니 좀 재미없네요.

왜 저금리가 FICC를 파탄냈다고 했는지

이거 하면서 단박에 이해했습니다.

무위험수익률이 낮아지는 만큼 수익률이 떨어지는군요...

 

여기서 마칩니다.